Integrales paso a paso - Asesoría de matemáticas y física

Integrales paso a paso apoyándonos con un cambio de variable

En este post resolveremos integrales paso a paso apoyándonos con un cambio de variable

Ejercicio 1

\int \left(x^3+2\right)^23x^2dx

Para el cambio de variable tomaremos el binomio como u:

x^3+2=u

Ahora obtenemos du, derivando u y despejando el diferencial

u=x^3+2

\frac{du}{dx}=3x^2

du=3x^2dx

Aplicamos la fórmula de la integral

\int u^n du= \frac{u^{n+1}}{n+1}+c

\int u^2 du= \frac{u^{2+1}}{2+1}+c = \frac{u^{3}}{3}+c

Regresamos la variable

\frac{u^{3}}{3}+c=\frac{\left(x^3+2\right)^3}{3}+c

Ejercicio 2

\int \left(x^3+2\right)^\frac{1}{2}x^2dx

Para el cambio de variable tomaremos el binomio como u:

x^3+2=u

Ahora obtenemos du, derivando u y despejando el diferencial

u=x^3+2

\frac{du}{dx}=3x^2

du=3x^2dx

Como podemos ver el diferencial es

du=3x^2dx

Y el de nuestra integral le falta el 3

\int \left(x^3+2\right)^\frac{1}{2}\textcolor{blue}{x^2dx}

Para completar la diferencial ponemos el tres pero también dividimos entre tres

\int \left(x^3+2\right)^\frac{1}{2}\textcolor{blue}{\frac{3}{3}x^2dx}=\textcolor{blue}{\frac{1}{3}}\int \left(x^3+2\right)^\frac{1}{2}\textcolor{blue}{3x^2dx}

Ahora aplicamos la fórmula de la integral

\int u^n du= \frac{u^{n+1}}{n+1}+c

\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}}du= \frac{1}{3}\left[ \frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} \right]+c =\frac{1}{3} \left[ \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right] +c=

\frac{1}{3}\left[ \frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3}\right]+c=\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{9}+c

Regresamos la variable

\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{9}+c=\frac{2\left( x^3+2 \right)^\frac{3}{2}}{9}+c

Ejercicio 3

\int \frac{8x^2dx}{\left(x^3-2\right)^3}

Subimos el binomio al cuadrado al numerador

8\int \left(x^3-2 \right)^{-3}dx

Para el cambio de variable tomaremos el binomio como u:

x^3-2=u

Ahora obtenemos du, derivando u y despejando el diferencial

u=x^3-2

\frac{du}{dx}=3x^2

du=3x^2dx

Como podemos ver el diferencial es

du=3x^2dx

Y a nuestra integral le falta el 3

8\int \left(x^3-2\right)^{-3}\textcolor{blue}{x^2dx}

Para completar la diferencial ponemos el tres pero también dividimos entre tres

8\int \left(x^3-2\right)^{-3}\textcolor{blue}{\frac{3}{3}x^2dx}=

=8*\textcolor{blue}{\frac{1}{3}}\int \left(x^3-2\right)^{-3}\textcolor{blue}{3x^2dx}

Ahora aplicamos la fórmula de la integral

\int u^n du= \frac{u^{n+1}}{n+1}+c

\frac{8}{3}\int u^{-3}du= \frac{8}{3}\left[ \frac{u^{-3+1}}{-3+1} \right]+c

=\frac{8}{3}\left[ \frac{u^{-2}}{-2}\right]+c=-\frac{8u^{-2}}{6}+c=-\frac{4u^{-2}}{3}+c

Regresamos la variable

-\frac{4u^{-2}}{3}+c=-\frac{4\left( x^3-2 \right)^{-2}}{3}+c

Ejercicio 4

\int3x\sqrt{1-2x^{2}}dx

Para empezar el radical lo expresamos como potencia:

3\int \left(1-2x^2\right)^\frac{1}{2}xdx

Para el cambio de variable tomaremos el binomio como u:

1-2x^2=u

Ahora obtenemos du, derivando u y despejando el diferencial

u=1-2x^2

\frac{du}{dx}=-4x

du=-4xdx

Como podemos ver el diferencial es

du=-4xdx

Y a nuestra integral le falta el -4

3\int \left(1-x^2\right)^\frac{1}{2}\textcolor{blue}{xdx}

Para completar la diferencial ponemos el -4 pero también dividimos entre -4

3\int \left(1-x^2\right)^\frac{1}{2}\textcolor{blue}{\frac{-4}{-4}xdx}=

=\textcolor{blue}{-\frac{1}{4}}*3\int \left(1-x^2\right)^\frac{1}{2}*\textcolor{blue}{-4xdx}

=\textcolor{blue}{-\frac{3}{4}}\int \left(1-x^2\right)^\frac{1}{2}*\textcolor{blue}{-4xdx}

Ahora aplicamos la fórmula de la integral

\int u^n du= \frac{u^{n+1}}{n+1}+c

-\frac{3}{4}\int u^\frac{1}{2}= -\frac{3}{4}\left[ \frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} \right]+c =

-\frac{3}{4} \left[ \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right] +c=-\frac{3}{4}\left[ \frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3}\right]+c

-\frac{6u^{\frac{3}{2}}}{12}+c=-\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}+c

Regresamos la variable

-\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}+c=-\frac{\left( 1-x^2 \right)^\frac{3}{2}}{2}+c

Ejercicio 5

\int \frac{\left(x+3\right)dx}{\left(x^2+6x\right)^{\frac{1}{3}}}dx

Subimos el binomio al cuadrado al numerador

\int \left(x^2+6x\right)^{-\frac{1}{3}}\left(x+3 \right)dx

Para el cambio de variable tomaremos el binomio como u:

x^2+6x=u

Ahora obtenemos du, derivando u y despejando el diferencial

u=x^2+6x

\frac{du}{dx}=2x+6

du=\left(2x+6\right)dx

Podemos factorizar 1/2

du=\frac{1}{2}\left(x+3\right)dx

Como podemos ver ya tenemos completo nuestra integral

\frac{1}2{}\int \left(x^2+6x\right)^{-\frac{1}{3}}\textcolor{blue}{\left(x+3 \right)dx}

Ahora aplicamos la fórmula de la integral

\int u^n du= \frac{u^{n+1}}{n+1}+c

\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{3}}du= \frac{1}{2}\left[ \frac{u^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} \right]+c

=\frac{1}{2} \left[ \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} \right] +c=\frac{1}{2}\left[ \frac{3u^{\frac{2}{3}}}{2}\right]+c=\frac{3u^{\frac{2}{3}}}{4}+c

Regresamos la variable

\frac{3u^{\frac{2}{3}}}{4}+c=\frac{3\left( x^2+6x \right)^\frac{2}{3}}{4}+c