Bernoulli estableció que en un flujo en el que no se agrega ni se extrae energía, la energía total es constante e igual a la suma de la energía cinética (relacionado con la velocidad), más la energía potencial (representada por la presión) más la energía gravitacional (relacionada con la altura).
Teorema de Bernoulli.
La suma de la presión, la energía cinética por unidad de volumen, y la energía potencial por unidad de volumen, tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de corriente.
También llamado Principio de Bernoulli y afirma que la energía total de un sistema de fluidos con un fluido uniforme permanece constante a lo largo de la trayectoria de un fluido.
\frac{1}{2} mv^2+mgh+PV=cte
Donde a energía cinética, debida a la necesidad del flujo del fluido es:
\frac{1}{2} mv^2
La energía potencial debida a la altitud del fluido esta dada por:
mgh
Ahora expresamos la energía en función de la densidad
\frac{1}{2}ρv^2+ρgh+P=cte
P_{1}+\frac{1}{2}ρ_{1} v_{1}^2+ρ_{1}gh_{1}=P_{2}+\frac{1}{2} ρ_{2} v_{2}^2+ρ_{2} gh_{2}
Ejemplificaremos un ejercicio paso a paso aplicando el Teorema de Bernoulli:
En una casa de dos pisos, se encuentra un sistema de tuberías por el cual circula agua, en el primer piso el agua se encuentra a una presión de 3.4×105 Pa, con una velocidad de 2.1 m/s. Sin embargo, en el segundo piso, el cual está a 4 m más arriba, el agua fluye a 3.7 m/s (esta diferencia velocidad se debe a la reducción del área que existe entre la tubería en cierto piso) determina el valor de la presión del segundo piso.
Despejando la presión de la ecuación
P_{1}+\frac{1}{2}ρ_{1} v_{1}^2+ρ_{1}gh_{1}=P_{2}+\frac{1}{2} ρ_{2} v_{2}^2+ρ_{2} gh_{2}
P_{1}+\frac{1}{2}ρ_{1} v_{1}^2+ρ_{1}gh_{1} -\frac{1}{2} ρ_{2} v_{2}^2-ρ_{2} gh_{2}=P_{2}
La ecuación la podemos simplificar agrupando algunos términos ya que la densidad es la misma
P_{1}+\frac{1}{2} ρ \left[ v_{1}^2- v_{2}^2\right]+ρg\left[ h_{1}-h_{2} \right]=P_{2}
Sustituyendo los valores en la ecuación
(3.4\times10^5pa)+\frac{1}{2} 1000kg/m^3 \left[ (2.1m/s)^2- (3.7m/s)^2\right]
+(1000kg/m^3)(9.81m/s^2)\left[ 0-4m \right]=P_{2}
P_{2}=296120pa
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