Las derivadas son una herramienta fundamental en el mundo de las matemáticas, y entenderlas es esencial para cualquier estudiante de bachillerato del área técnica. En este artículo, exploraremos qué son las derivadas, cómo se calculan utilizando límites y presentaremos ejercicios de derivada por definición resueltos para reforzar los conceptos aprendidos.
¿Qué es una Derivada?
En términos sencillos, la derivada de una función describe la tasa de cambio instantánea de esa función en un punto específico. Es decir, nos dice cómo cambia una función en respuesta a cambios infinitesimales en su variable independiente.
Si la función es f(x) la derivada se expresa como f'(x), si la función es y la derivada se expresa como y’.
Fórmula de derivada por definición
La fórmula fundamental para calcular la derivada de una función f(x) en un punto x es:
f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}Esta fórmula utiliza límites para analizar el cambio en la función a medida que la variable h se aproxima a cero. El resultado del límite es la derivada de f(x) en el punto x.
Ejercicios de derivada por definición resueltos paso a paso:
Calcule la derivada de la función f(x)=x2
Solución:
f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\cancel{x^2}+2xh-h^2-\cancel{x^2}}{h}f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{2xh-h^2}{h}f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{2x\cancel{h}}{\cancel{h}}-\frac{h^{\cancel{2}}}{\cancel{h}}f'(x)=\lim_{h \to 0}2x-hf'(x)=2x-(0)
f'(x)=2x
Calcule la derivada de la función f(x)=2x2+3x
Solución:
f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{2(x+h)^2+3(x+h)-(2x^2+3x)}{h}f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{2(x^2+2xh+h^2)+3x+3h-2x^2-3x}{h}f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{2\cancel{x^2}+4xh+4h^2+\cancel{3x}+3h-\cancel{2x^2}-\cancel{3x}}{h}f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{4xh-4h^2+3h}{h}f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{4x\cancel{h}}{\cancel{h}}-\frac{4h^{\cancel{2}}}{\cancel{h}}+\frac{3\cancel{h}}{\cancel{h}}f'(x)=\lim_{h \to 0}4x-4h+3f'(x)=4x-4(0)+3
f'(x)=4x+3
Halle la derivada de las siguiente función:
f(x)=\sqrt{x}Solución:
f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\cancel{x}+h-\cancel{x}}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\cancel{h}}{\cancel{h}(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{1}{(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}f'(x)=\frac{1}{(\sqrt{x+(0)}+\sqrt{x})}f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}