Para calcular el área de polígonos dadas las coordenadas de los vértices, resolveremos el siguiente determinante que nos permitirá calcular el área de polígonos irregulares:
A= \frac{1}{2}\begin{vmatrix}
x_1 & y_1\\
x_2 & y_2\\
x_3& y_3\\
x_4 & y_4\\
x_1 & y_1\\
\end{vmatrix}Es importante tener en cuenta que siempre terminamos repitiendo el punto de inicio y además acomodamos cada unos de los puntos en secuencia y en sentido horario o antihorario
Este determinante se resuelve de la siguiente manera:
A=\frac{1}{2} \begin{vmatrix}
\sum x\cdot y-\sum y\cdot x\\
\end{vmatrix} Calculamos primero
\sum x\cdot y
A=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
x_1 & y_1\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \searrow & \\
x_2 & y_2\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \searrow & \\
x_3& y_3\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \searrow & \\
x_4 & y_4\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \searrow & \\
x_1 & y_1\\
\end{vmatrix}\sum x\cdot y=x_1\cdot y_2+x_2\cdot y_3+x_3\cdot y_4+x_4\cdot y_1
Ahora calculamos
\sum y\cdot x
\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
x_1 & y_1\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \red{\swarrow}
& \\
x_2 & y_2\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \red{\swarrow}
& \\
x_3& y_3\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \red{\swarrow}
& \\
x_4 & y_4\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \red{\swarrow}
& \\
x_1 & y_1\\
\end{vmatrix}\sum y\cdot x=y_1\cdot x_2+y_2\cdot x_3+y_3\cdot x_4+y_4\cdot x_1
Resolvamos un ejercicio paso a paso
Calcula el área de polígonos dadas las coordenadas de los vértices: A(1,2), B(2,2), C(1,-2), D(-2,-2)
Recomiendo siempre graficar los puntos en el plano cartesiano
Ahora sustituimos los puntos en secuencia, en este caso primero el A, B, C y D, recuerda siempre terminar con el mismo punto con el que empezaste.
A= \frac{1}{2}\begin{vmatrix}
1 & 2\\
2 & 2\\
1& -2\\
-2 & -2\\
1 & 2\\
\end{vmatrix}Para resolver este determinante utilizamos la siguiente fórmula
A=\frac{1}{2} \begin{vmatrix}
\sum x\cdot y-\sum y\cdot x\\
\end{vmatrix} Calculamos primero
\sum x\cdot y
A= \frac{1}{2}\begin{vmatrix}
1 & 2\\
2 & 2\\
1& -2\\
-2 & -2\\
1 & 2\\
\end{vmatrix}A=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
1 & 2\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \searrow & \\
2 & 2\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \searrow & \\
1& -2\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \searrow & \\
-2 & -2\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \searrow & \\
1 & 2\\
\end{vmatrix}\sum x\cdot y=(1\cdot 2)+(2\cdot -2)+(1\cdot -2)+(-2\cdot2)
\sum x\cdot y=(2)+(-4)+(-2)+(-4)
\sum x\cdot y=-8
Ahora calculamos
\sum y\cdot x
\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
1 & 2\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \red{\swarrow}
& \\
2 & 2\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \red{\swarrow}
& \\
1& -2\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \red{\swarrow}
& \\
-2 & -2\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \red{\swarrow}
& \\
1 & 2\\
\end{vmatrix}\sum y\cdot x=(2\cdot 2)+(2\cdot 1)+(-2\cdot -2)+(-2\cdot 1)
\sum y\cdot x=(4)+(2)+(4)+(-2)
\sum y\cdot x=8
A=\frac{1}{2} \begin{vmatrix}
-8 -8\\
\end{vmatrix}A=\frac{1}{2} \begin{vmatrix}
-16\\
\end{vmatrix}Recordemos que el valor absoluto de -16 es 16
A=\frac{1}{2} \left( 16 \right)A=8 u^2
Esta fórmula es aplicable a polígonos de cualquier número de lados, siempre que conozcamos las coordenadas de sus vértices.
