Para hallar, la ecuación de la recta que pasa por un punto y es perpendicular a otra, debemos seguir los siguientes pasos, para esto ejemplificaré con el siguiente ejercicio:
Ejemplo 1:
Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-4,3) y es perpendicular a la recta 2x – y + 2 = 0.
Encuentra la pendiente de la recta dada:
Si la ecuación de la recta esta en su forma general (ax + by + c = 0) la convertimos en la forma pendiente y ordenada al origen es de la forma y = mx + b, donde m es la pendiente, entonces la pendiente de la recta perpendicular será el negativo del inverso de m.
En otras palabras, la pendiente perpendicular:
m_{\perp}=-\frac{1}{m}La ecuación 2x – y + 2 = 0, la escribimos en su forma pendiente y ordenada al origen, para esto despejamos y.
y=2x-2
La pendiente m=2, sustituimos.
m_{\perp}=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{2}Una vez obtenida la pendiente perpendicular la sustituimos en la fórmula para obtener la ecuación de la recta junto con el punto P( -4,3)
y-y_1=m(x-x_1)
y-(3)=-\frac{1}{2}(x-(-4))-2(y-3)=(x+4)
-2y+6=x+4
Por tanto la ecuación de la recta perpendicular que pasa por un punto es:
x+2y-2=0
Ejemplo 2:
Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,5) y es perpendicular a la recta x + 2y + 3 = 0.
Encuentra la pendiente de la recta dada:
Escribimos la ecuación dada en su forma pendiente y ordenada al origen, para obtener la pendiente perpendicular
La pendiente perpendicular:
m_{\perp}=-\frac{1}{m}La ecuación x + 2y + 3 = 0, despejamos y.
y=\frac{-x-3}{2}La pendiente m=-1/2, sustituimos.
m_{\perp}=-\frac{1}{-1/2}=2Una vez obtenida la pendiente perpendicular la sustituimos en la fórmula para obtener la ecuación de la recta junto con el punto P( 3,5)
y-y_1=m(x-x_1)
y-(5)=2(x-3)
y-5=2x-6
2x-y-6+5=0
Por tanto la ecuación de la recta perpendicular que pasa por un punto es:
2x-y-1=0
