Antes de ver los ejercicios resueltos de derivadas algebraicas, escribiré una breve introducción de lo que es la derivada.
¿Qué es una Derivada?
La derivada de una función representa la tasa de cambio instantánea de esa función en un punto específico. Imagina que tienes una función que describe el movimiento de un objeto, la derivada te dirá cuán rápido está cambiando la posición del objeto en un momento dado.
La Derivada como una Línea Tangente
Uno de los conceptos clave al comprender la derivada es la idea de una «línea tangente». Cuando trazamos la derivada de una función en un punto particular de la curva, esta línea representa la pendiente instantánea de la curva en ese punto. En otras palabras, es la línea que toca la curva en un solo punto sin atravesarla. La pendiente de esta línea tangente es igual a la derivada de la función en ese punto.
Existen diferentes tipos de derivadas
Existen fórmulas de derivación para simplificar el proceso de cálculo de derivadas en casos algebraicos, trigonométricos, inversos, logarítmicos y exponenciales. En este artículo, nos centraremos en las derivadas algebraicas.
Fórmula para derivadas algebraicas
Ahora ejemplificaré cada una de las fórmulas. Como nota importante debemos saber que las derivadas de las funciones se pueden expresar de las siguientes formas:
\frac{d}{dx}x; \ \text{Si} \ y \ \text{es una función la derivada de} \ y \ \text{es} \ y' ;\ \text{Si} \ f(x) \ \text{es una función la derivada es} \ f'(x)Ejercicios resueltos de derivadas algebraicas paso a paso:
Casos en los que se resuelven con la fórmula 1:
Ejemplo 1:Resuelve la siguiente derivada de la siguiente función , y=5
En este ejercicio vemos que 5 es una constante para resolverlo utilizaremos la fórmula numero 1
\frac{d}{dx}c=0y=5
y'=0
Ejemplo 2:Resuelve la siguiente derivada de la siguiente función , f(x)=13
Utilizaremos la fórmula numero 1.
\frac{d}{dx}c=0f(x)=13
f'(x)=0
Casos en los que se resuelven con la fórmula 2:
Ejemplo 1:Resuelve la siguiente derivada de la siguiente función , y=x
\frac{d}{dx}x=1y=x
y'=1
Ejemplo 2:Resuelve la siguiente derivada de la siguiente función , f(x)=x
Utilizaremos la fórmula numero 2.
\frac{d}{dx}x=1f(x)=x
f'(x)=1
Casos en los que se resuelven con la fórmula 3:
Ejemplo 1:Resuelve la siguiente derivada de la siguiente función , y=6x
\frac{d}{dx}cx=cEn esta fórmula c es una constante ( un número cualquiera) en el ejercicio c=6 .
y=6x
y'=6
Ejemplo 2:Resuelve la siguiente derivada de la siguiente función , f(x)=100x
\frac{d}{dx}cx=cf(x)=100x
f'(x)=100
Casos en los que se resuelven con la fórmula 4:
Ejemplo 1:Resuelve la siguiente derivada de la siguiente función , y=x3
\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}y=x^3
y'=3x^{2-1}=3x^2Ejemplo 2:Resuelve la siguiente derivada de la siguiente función , f(x)=3x5
\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}f(x)=3x^5
En este ejemplo, n multiplicara a la constante 3.
f'(x)=3\cdot 5x^{5-1}=15x^4Casos en los que se resuelven con la fórmula 5:
Ejemplo 1:Resuelve la siguiente derivada de la siguiente función , y=x3+x2+x
\frac{d}{dx}(u+v+...)=\frac{d}{dx}u+\frac{d}{dx}v+...Esta función esta compuesta por 3 términos, y lo que nos dice la fórmula es que debemos derivar cada uno de los términos.
y=x^3+x^2+x
y'=\frac{d}{dx}x^3+\frac{d}{dx}x^2+\frac{d}{dx}xy'=3x^2+2x+1
Ejemplo 2:Resuelve la siguiente derivada de la siguiente función , f(x)=3x4+2x-5
\frac{d}{dx}(u+v+...)=\frac{d}{dx}u+\frac{d}{dx}v+...f(x)=3x^4+2x-5
f'(x)=\frac{d}{dx}3x^4+\frac{d}{dx}2x-\frac{d}{dx}5f'(x)=3\cdot 4x^{4-1}+2-0f'(x)=12x^3+2
Casos en los que se resuelven con la fórmula 6:
Ejemplo 1:Resuelve la siguiente derivada de la siguiente función , y=(x2+2)3
\frac{d}{dx}u^n=nu^{n-1}\frac{d}{dx}uEsta función u es igual a x2+2 y n es 3.
y=(x^2+2)^3
y'=3(x^2+2)^{3-1}\cdot \frac{d}{dx}(x^2+2)y'=3(x^2+2)^2\cdot (2x)
y'=6x(x^2+2)^2
Ejemplo 2:Resuelve la siguiente derivada de la siguiente función , f(x)
f(x) =\sqrt{3x^4-3x}\frac{d}{dx}u^n=nu^{n-1}\frac{d}{dx}uComo sabemos la raíz cuadrada también la podemos expresar como exponente a la 1/2.
f(x)=(3x^4-3x)^{\frac{1}{2}}f'(x)=\frac{1}{2}(3x^4-3x)^{\frac{1}{2}-1}\cdot\frac{d}{dx}(3x^4-3x)f'(x)=\frac{1}{2}(3x^4-3x)^{-\frac{1}{2}}\cdot(3\cdot4x^{4-1}-3)f'(x)=\frac{1}{2}(3x^4-3x)^{-\frac{1}{2}}\cdot12x^3-3Una de las propiedades de los exponentes, nos dice que a-1=1/a, aplicamos esta propiedad.
f'(x)=\frac{12x^3-3}{2(3x^4-3x)^{\frac{1}{2}}}Por último regresamos nuestra exponente 1/2 a raíz cuadrada.
f'(x)=\frac{12x^3-3}{2\sqrt{3x^4-3x}}Casos en los que se resuelven con la fórmula 7:
Ejemplo 1:Resuelve la siguiente derivada de la siguiente función , y=(x3-4x2)(x-2)
\frac{d}{dx}uv=u\frac{d}{dx}v+v\frac{d}{dx}uy=(x^3-4x^2)(x-2)
Para derivar se utiliza la derivada de una multiplicación, u =(x3-4x2) y v=(x-2)
y'=(x^3-4x^2)\frac{d}{dx}(x-2)+(x-2)\frac{d}{dx}(x^3-4x^2)y'=(x^3-4x^2)(1)+(x-2)(3x^2-8x)
y'=(x^3-4x^2)+(3x^3-14x^2+16x)
Reducimos
y'=x^3-4x^2+3x^3-14x^2+16x
y'=4x^3-18x^2+16x
Casos en los que se resuelven con la fórmula 8:
Ejemplo 1:Resuelve la siguiente derivada de la siguiente función ,
\frac{d}{dx}\frac{u}{v}=\frac{v\frac{d}{dx}u-u\frac{d}{dx}v}{v^2}y=\frac{3x-3}{3x^3-8x}Para derivar se utiliza la derivada de una división, u =(3x-3) y v=3x3-8x
y'=\frac{(3x^3-8x)\frac{d}{dx}(3x-3)-(3x-3)\frac{d}{dx}(3x^3-8x)}{(3x^3-8x)^2}y'=\frac{(3x^3-8x)(3)-(3x-3)(9x^2-8)}{(3x^3-8x)^2}Reducimos
y'=\frac{(9x^3-24x)-(27x^3-27x^2-24x+24)}{(3x^3-8x)^2}y'=\frac{9x^3-24x-27x^3+27x^2+24x-24}{(3x^3-8x)^2}y'=\frac{-18x^3+27x^2-24}{(3x^3-8x)^2}
