A continuación te presento ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones 2×2, con los diferentes métodos: eliminación (suma y resta), sustitución e igualación.
Ejercicios resueltos método eliminación
Ejercicio 1: método de eliminación
\left\{
x + 6y = 27 \atop
7x -3y = 9
\right.Primero elegimos la variable que vamos a eliminar, x o y
\left\{
x + 6y = 27 ...(1) \atop
7x -3y = 9 ...(2)
\right.Para este ejemplo eliminaremos la variable y, para eliminarla primero multiplicamos los coeficientes de y, el coeficiente de y de la ecuación 1 se multiplica por la ecuación 2 y el coeficiente de y de la ecuación 2 por la ecuación 1
3(x + 6y = 27) \atop 6(7x -3y = 9)
3x + 18y = 81 \atop 42x -18y = 54
Ahora que ya tenemos los coeficientes de y iguales podemos eliminarlos
3x + \cancel{18y} = 81 \\
42x\cancel{-18y} = 54 \\
\text{---------------------------}\\
45x +0 =135
Despejamos la ecuación
45x=135 \\
x=\frac{135}{45}=3
Para finalizar sustituimos el resultado en cualquiera de las dos ecuaciones originales
x + 6y = 27 \\ (3) + 6y = 27 \\ 3+6y=27 \\ 6y=27-3 \\ 6y=24 \\ x=\frac{24}{6}=4\text{Los valores son} \ x= 3 \ y= 4Ejercicio 2: método de eliminación
\left\{
7x + 9y = 42 \atop
12x + 10y = -4
\right.Primero elegimos la variable que vamos a eliminar, x o y
\left\{
7x + 9y = 42 ...(1) \atop
12x + 10y = -4 ...(2)
\right.Ahora la variable x, para eliminarla primero multiplicamos los coeficientes de x, el coeficiente de x de la ecuación 1 se multiplica por la ecuación 2 y el coeficiente de x de la ecuación 2 por la ecuación 1
12(7x + 9y = 42) \atop 7(12x + 10y = -4)
84x + 108y = 504 \atop 84x + 70y = -28
Como vemos los coeficientes ahora son iguales, para poderlos eliminar si tienen mismo signo multiplicamos cualquiera de las dos ecuaciones por -1.
84x + 108y = 504 \\ -84x - 70y = -28 \\
Ahora que ya tenemos los coeficientes iguales y con signo diferente podemos eliminarlos
\cancel{84} + 108y = 504 \\
\cancel{-84x} - 70y = 28 \\
\text{---------------------------}\\
0+38y=532
Despejamos la ecuación
0+38y=532\\
y=\frac{532}{38}=14
Para finalizar sustituimos el resultado en cualquiera de las dos ecuaciones originales
7x + 9y = 42 \\ 7x + 9(14) = 42 \\ 7x+126=42 \\ 7x=42-126 \\ 7x=-168 \\ x=\frac{-84}{7}=-12\text{Los valores son} \ x= -12 \ y= 14Ejercicios resueltos método eliminación
Ejercicio 1: método de igualación
\left\{
x + 6y = 27 \atop
7x -3y =9
\right.\left\{
x + 6y = 27 ...(1) \atop
7x -3y = 9 ...(2)
\right.De la ecuación 1 despejamos x
x+6y=27 \\ x=27-6y \\
De la ecuación 2 también despejamos x
7x-3y=9 \\
7x=9+3y \\
x=\frac{9+3y}{7}Igualamos las dos ecuaciones
27-6y =\frac{9+3y}{7}Resolvemos la ecuación
7(27-6y)=(9+3y)
189-42y=9+3y
-42y-3y=-189+9
-45y=-180
y=\frac{-180}{-45}=4Este valor lo sustituimos en cualquiera de las dos primeras ecuaciones despejadas
x=27-6y \\ x=27-6(4)
x=27-24
x=3
\text{Los valores son} \ x= 3 \ y= 4Ejercicio 2: método de igualación
\left\{
7x + 9y = 42 \atop
12x + 10y =-4
\right.\left\{
7x + 9y = 42 ...(1) \atop
12x + 10y = -4 ...(2)
\right.De la ecuación 1 despejamos x
7x+9y=42 \\
7x=42-9y \\
x=\frac{42-9y}{7}De la ecuación 2 también despejamos x
12x + 10y =-4 \\
12x=-4-10y \\
x=\frac{-4-10y}{12}Igualamos las dos ecuaciones
\frac{42-9y}{7}=\frac{-4-10y}{12}Resolvemos la ecuación
12(42-9y)=7(-4-10y)
504-108y=-28-70y
-108y+70y=-28-504
-38y=-532
y=\frac{-532}{-38}=14Este valor lo sustituimos en cualquiera de las dos primeras ecuaciones despejadas
x=\frac{42-9y}{7}x=\frac{42-9(14)}{7}x=\frac{42-126}{7}x=\frac{-84}{7}=-12\text{Los valores son} \ x= -12 \ y= 14Ejercicios resueltos método sustitución
Ejercicio 1: método de sustitución
\left\{
x + 6y = 27 \atop
7x -3y =9
\right.\left\{
x + 6y = 27 ... (1)\atop
7x -3y =9 ...(2)
\right.De la ecuación (1) despejamos «x» la sustituimos en la ecuación (2)
x=27-6y
7(27-6y)-3y=9
Como vemos tenemos una ecuación de una sola incógnita, ahora la resolvemos.
189-24y-3y=9
-42y-3y=9-189
-45y=-180
y=\frac{-180}{-45}=4Sustituimos en la primera ecuación despejada
x=27-6y
x=27-6(4)
x=27-24
x=3
\text{Los valores son} \ x= 3 \ y= 4Ejercicio 2: método de sustitución
\left\{
7x + 9y = 42 \atop
12x + 10y = -4
\right.\left\{
7x + 9y = 42 ...(1) \atop
12x + 10y = -4 ...(2)
\right.De la ecuación (1) despejamos «y» la sustituimos en la ecuación (2)
y=\frac{42-7x}{9}12x+10 \left( \frac{42-7x}{9} \right)=-4Como vemos tenemos una ecuación de una sola incógnita, ahora la resolvemos.
10 \left( \frac{42-7x}{9} \right)=-4-12x10 \left( 42-7x \right)=9(-4-12x)
420-70x=-36-108x
-70x+108x=-36-420
38x=-456
x=\frac{-456}{38}=-12Sustituimos en la primera ecuación despejada
y=\frac{42-7x}{9}y=\frac{42-7(-12)}{9}y=\frac{42+84}{9}y=\frac{126}{9}=14\text{Los valores son} \ x= -12 \ y= 14Deseas un asesoría
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