Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones 2×2

A continuación te presento ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones 2×2, con los diferentes métodos: eliminación (suma y resta), sustitución e igualación.

Ejercicios resueltos método eliminación

Ejercicio 1: método de eliminación

\left\{
x + 6y  = 27 \atop
7x -3y = 9 
\right.

Primero elegimos la variable que vamos a eliminar, x o y

\left\{
x + 6y  = 27 ...(1) \atop
7x -3y = 9 ...(2)
\right.

Para este ejemplo eliminaremos la variable y, para eliminarla primero multiplicamos los coeficientes de y, el coeficiente de y de la ecuación 1 se multiplica por la ecuación 2 y el coeficiente de y de la ecuación 2 por la ecuación 1

3(x + 6y  = 27)  \atop
6(7x -3y = 9) 

3x + 18y  = 81 \atop
42x -18y = 54

Ahora que ya tenemos los coeficientes de y iguales podemos eliminarlos

3x + \cancel{18y}  = 81 \\
42x\cancel{-18y} = 54 \\
\text{---------------------------}\\
45x +0 =135

Despejamos la ecuación

45x=135 \\
x=\frac{135}{45}=3

Para finalizar sustituimos el resultado en cualquiera de las dos ecuaciones originales

x + 6y  = 27 \\ (3) + 6y = 27 \\ 3+6y=27 \\ 6y=27-3 \\ 6y=24 \\  x=\frac{24}{6}=4

\text{Los valores son} \ x= 3 \ y= 4

Ejercicio 2: método de eliminación

\left\{
7x + 9y  = 42  \atop
12x + 10y = -4 
\right.

Primero elegimos la variable que vamos a eliminar, x o y

\left\{
7x + 9y  = 42 ...(1) \atop
12x + 10y = -4 ...(2)
\right.

Ahora la variable x, para eliminarla primero multiplicamos los coeficientes de x, el coeficiente de x de la ecuación 1 se multiplica por la ecuación 2 y el coeficiente de x de la ecuación 2 por la ecuación 1

12(7x + 9y  = 42)  \atop
7(12x + 10y = -4) 

84x + 108y  = 504 \atop
84x + 70y = -28

Como vemos los coeficientes ahora son iguales, para poderlos eliminar si tienen mismo signo multiplicamos cualquiera de las dos ecuaciones por -1.

84x + 108y  = 504 \\
-84x - 70y = -28 \\

Ahora que ya tenemos los coeficientes iguales y con signo diferente podemos eliminarlos

\cancel{84} + 108y  = 504 \\
\cancel{-84x} - 70y = 28 \\
\text{---------------------------}\\
0+38y=532

Despejamos la ecuación

0+38y=532\\
y=\frac{532}{38}=14

Para finalizar sustituimos el resultado en cualquiera de las dos ecuaciones originales

7x + 9y  = 42 \\ 7x + 9(14) = 42 \\ 7x+126=42 \\ 7x=42-126 \\ 7x=-168 \\ x=\frac{-84}{7}=-12

\text{Los valores son} \ x= -12 \ y= 14

Ejercicios resueltos método eliminación

Ejercicio 1: método de igualación

\left\{
x + 6y  = 27 \atop
7x -3y =9 
\right.

\left\{
x + 6y  = 27 ...(1) \atop
7x -3y = 9 ...(2)
\right.

De la ecuación 1 despejamos x

x+6y=27 \\
x=27-6y \\

De la ecuación 2 también despejamos x

7x-3y=9 \\
7x=9+3y \\
x=\frac{9+3y}{7}

Igualamos las dos ecuaciones

27-6y =\frac{9+3y}{7}

Resolvemos la ecuación

7(27-6y)=(9+3y)

189-42y=9+3y

-42y-3y=-189+9

-45y=-180

y=\frac{-180}{-45}=4

Este valor lo sustituimos en cualquiera de las dos primeras ecuaciones despejadas

x=27-6y \\
x=27-6(4)

x=27-24

x=3

\text{Los valores son} \ x= 3 \ y= 4

Ejercicio 2: método de igualación

\left\{
7x + 9y  = 42  \atop
12x + 10y =-4 
\right.

\left\{
7x + 9y  = 42 ...(1) \atop
12x + 10y = -4 ...(2)
\right.

De la ecuación 1 despejamos x

7x+9y=42 \\
7x=42-9y \\
x=\frac{42-9y}{7}

De la ecuación 2 también despejamos x

12x + 10y =-4  \\
12x=-4-10y \\
x=\frac{-4-10y}{12}

Igualamos las dos ecuaciones

\frac{42-9y}{7}=\frac{-4-10y}{12}

Resolvemos la ecuación

12(42-9y)=7(-4-10y)

504-108y=-28-70y

-108y+70y=-28-504

-38y=-532

y=\frac{-532}{-38}=14

Este valor lo sustituimos en cualquiera de las dos primeras ecuaciones despejadas

x=\frac{42-9y}{7}

x=\frac{42-9(14)}{7}

x=\frac{42-126}{7}

x=\frac{-84}{7}=-12

\text{Los valores son} \ x= -12 \ y= 14

Ejercicios resueltos método sustitución

Ejercicio 1: método de sustitución

\left\{
x + 6y  = 27 \atop
7x -3y =9 
\right.

\left\{
x + 6y  = 27  ... (1)\atop
7x -3y =9   ...(2)
\right.

De la ecuación (1) despejamos «x» la sustituimos en la ecuación (2)

x=27-6y

7(27-6y)-3y=9

Como vemos tenemos una ecuación de una sola incógnita, ahora la resolvemos.

189-24y-3y=9

-42y-3y=9-189

-45y=-180

y=\frac{-180}{-45}=4

Sustituimos en la primera ecuación despejada

x=27-6y

x=27-6(4)

x=27-24

x=3

\text{Los valores son} \ x= 3 \ y= 4

Ejercicio 2: método de sustitución

\left\{
7x + 9y  = 42 \atop
12x + 10y = -4
\right.

\left\{
7x + 9y  = 42 ...(1) \atop
12x + 10y = -4 ...(2)
\right.

De la ecuación (1) despejamos «y» la sustituimos en la ecuación (2)

y=\frac{42-7x}{9}

12x+10 \left( \frac{42-7x}{9} \right)=-4

Como vemos tenemos una ecuación de una sola incógnita, ahora la resolvemos.

10 \left( \frac{42-7x}{9} \right)=-4-12x

10 \left( 42-7x \right)=9(-4-12x)

420-70x=-36-108x

-70x+108x=-36-420

38x=-456

x=\frac{-456}{38}=-12

Sustituimos en la primera ecuación despejada

y=\frac{42-7x}{9}

y=\frac{42-7(-12)}{9}

y=\frac{42+84}{9}

y=\frac{126}{9}=14

\text{Los valores son} \ x= -12 \ y= 14

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