Sistemas de ecuaciones 2×2

Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes, existen sistemas de ecuaciones 2×2, 3×3, etc.

\left\{
3x + 2y  = 7 \atop
4x + 7y = 18
\right.

Dos o más ecuaciones son simultáneas cuando se satisfacen para el mismo valor de las incógnitas

Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.

Es importante tener en cuenta, que si tenemos 2 incógnitas es necesarito tener dos ecuaciones, así el números de incógnitas que tengamos necesitaremos el mismo número de  ecuaciones.

Tres de los métodos más comunes para la solución de ecuaciones de dos incógnitas son: Método de suma o resta (eliminación), Método de sustitución y Método de igualación.

Método de igualación

En el método de igualación se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la  parte derecha de ambas ecuaciones.

Realizar la ecuación de primer grado y una incógnita.

\left\{
3x + 2y  = 7 ...(1) \atop
4x + 7y = 18 ...(2)
\right.

De la ecuación 1 despejamos x

3x+2y=7 \\
3x=7-2y \\
x=\frac{7-2y}{3}

De la ecuación 2 también despejamos x

4x+7y=18 \\
4x=18-7y \\
x=\frac{18-7y}{4}

Igualamos las dos ecuaciones

\frac{7-2y}{3}=\frac{18-7y}{4}

Resolvemos la ecuación

4(7-2y)=3(18-7y)
28-8y=54-21y
-8y+21y=54-28
13y=26
y=\frac{26}{13}=2

Este valor lo sustituimos en cualquiera de las dos primeras ecuaciones despejadas

x=\frac{7-2(2)}{3}
x=\frac{7-4}{3}
x=\frac{3}{3}=1
\text{Los valores son} \ x= 1 \ y= 2

Sistemas de ecuaciones 2×2, Método sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita,  preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para sustituirla en la otra  ecuación por su valor

\left\{
3x + 2y  = 7 \atop
4x + 7y = 18
\right.

De la ecuación (1) despejamos «y» la sustituimos en la ecuación (2)

y=\frac{7-3x}{2}
4x+7 \left( \frac{7-3x}{2} \right)=18

Como vemos tenemos una ecuación de una sola incógnita, ahora la resolvemos.

7 \left( \frac{7-3x}{2} \right)=18-4x
7 \left( 7-3x \right)=2(18-4x)
49-21x=36-8x
-21x+8x=36-49
-13x=-13
x=\frac{-13}{-13}=1

Sustituimos en la primera ecuación despejada

y=\frac{7-3x}{2}
y=\frac{7-3(1)}{2}
y=\frac{7-3}{2}
y=\frac{4}{2}=2
\text{Los valores son} \ x= 1 \ y= 2

Método de eliminación (suma o resta)

Primero elegimos la variable que vamos a eliminar, x o y

\left\{
3x + 2y  = 7 ...(1) \atop
4x + 7y = 18 ...(2)
\right.

Para este ejemplo eliminaremos la variable x, para eliminarla primero multiplicamos los coeficientes de x, el coeficiente de x de la ecuación 1 se multiplica por la ecuación 2 y el coeficiente de x de la ecuación 2 por la ecuación 1

4(3x + 2y  = 7)  \atop
3(4x + 7y = 18) 
12x + 8y  = 28 \atop
12x + 21y = 54

Como vemos los coeficientes ahora son iguales, para poderlos eliminar si tienen mismo signo multiplicamos cualquiera de las dos ecuaciones por -1. 

12x + 8y  = 28 \\
-12x - 21y = -54 \\

Ahora que ya tenemos los coeficientes iguales y con signo diferente podemos eliminarlos

\cancel{12x} + 8y  = 28 \\
\cancel{-12x} - 21y = -54 \\
\text{---------------------------}\\
0-13y=-26

Despejamos la ecuación 

0-13y=-26\\
y=\frac{-26}{-13}=2

Para finalizar sustituimos el resultado en cualquiera de las dos ecuaciones originales

3x + 2y  = 7\\3x + 2(2) = 7\\3x+4=7\\3x=7-4\\3x=3\\ x=\frac{3}{3}=1
\text{Los valores son} \ x= 1 \ y= 2

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