Ejercicio 1. Encuentra centro y radio de la circunferencia a partir de su ecuación x2+y2+2x-4y-4=0
Para hallar el centro y el radio es necesario que escribamos la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria, es decir:
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2
Para escribirla de esta forma, agruparemos las x y las y.
(x^2+2 x)+(y^2-4y)=4
Recordemos que un binomio al cuadrado se resuelve de la siguiente forma:
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Si nosotros tenemos una parte del trinomio (x2 + 2x) y (y2-4y) lo siguiente es completar el trinomio, para esto descomponemos la parte lineal
(x^2+\red{2}\cdot \blue{1\cdot x})+(y^2-\red{2}\cdot \blue{2\cdot y})=4En la primera parte (x2+ 2 * 1 * x ) x es el primer término y 1 el segundo término en la segunda parte (y2– 2 * 2 * y ) y es la primer término y 2 el segundo término. Para completar el trinomio elevamos al cuadrado los segundos términos.
(x^2+2 x + 1)+(y^2-4y+4)
Como agregamos un 1 y un 4, para que no se afecte nuestra ecuación los escribimos también del otro lado de la igualdad.
(x^2+2 x + 1)+(y^2-4y+4)=4+\red{1+4}Ahora que tenemos los trinomios cuadrados perfectos, los factorizamos en binomios al cuadrado.
(x+1)^2+(y-2)^2=9
De aquí podemos ver que h=-1, k=2 y r2 = 9.
Por lo tanto el centro c(-1, 2) y el radio r=3.
Ejercicio 2. Halla el centro y radio de la circunferencia a partir de su ecuación x2 + y2 – 4x – 4y – 17=0
Para hallar el centro y el radio es necesario que escribamos la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria, es decir:
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2
Para escribirla de esta forma, agruparemos las x y las y.
(x^2-4 x)+(y^2-4y)=17
Ahora completamos los trinomios cuadrados perectos.
(x^2-4x+\red{4})+(y^2-4y+\red{4})=17\red{+4+4}(x^2-4x+\red{4})+(y^2-4y+\red{4})=25Ahora que tenemos los trinomios cuadrados perfectos, los factorizamos en binomios al cuadrado.
(x-2)^2+(y-2)^2=25
De aquí podemos ver que h=2, k=2 y r2 = 25.
Por lo tanto el centro c(2, 2) y el radio r=5.
